معماهاي رياضي

م1: انتخاب دشوار

سندباد جهانگرد هميشه در سفر بود، به نحوي كه هنوز در شهري اقامت نكرده، قصد سفر بعدي كرد.
كأنما هو في حلّ و مرتحل *** موكّل في فضاء الله يذرعه
« گويا وي در حال اقامت و مسافرت است، و مأمور گز كردن سرزمين خدا مي باشد ».
اما او در حالي كه اين سرزمين را گز مي كرد و اندازه مي گرفت، در معرض خطرهاي كشنده قرار مي گرفت كه با هشياري و زرنگي از آن ها رهايي مي يافت.
از جمله خطرهايي كه سندباد با آن ها روبه رو شد، در سرزمين « واق واق » اتفاق افتاد. او در آن جا متهم و محاكمه و محكوم به اين شد كه از تونل آزمايش بگذرد. وقتي از دانايان اين سرزمين پرسيد: تونل آزمايش چيست؟
گفتند: تونل دراز و تاريكي است كه به ميداني داراي دو دَر منتهي مي شود. يكي از اين درها به سوي راهي امن و امان گشوده مي شود، كه اگر آن را باز كردي، بي گناه خواهي بود و به سلامت خواهي رفت؛ ولي دَر دومي به روي لانه اي باز مي شود كه در آن پلنگ درنده اي قرار دارد، كه هر كس را ببيند، مورد حمله قرار مي دهد. اگر آن دَر را باز كني، معلوم مي شود كه مجرم هستي و در نتيجه به سزاي عمل خود خواهي رسيد.
او پرسيد: آيا راهي براي تشخيص و متمايز كردن اين دو دَر وجود دارد؟
پاسخ داده شد: خير، ولي در مقابل هر دَري يك نگهبان ايستاده است، كه تو مي تواني تنها يك پرسش از يكي از آن ها بكني و پاسخ را به دست آوري. اما بدان كه تنها يكي از آن دو نگهبان پاسخ راست، و ديگري پاسخ دروغ مي گويد.
وقتي سندباد اين مطلب را شنيد، لبخندي زد و آن گاه با گام هاي استوار وارد تونل شد، تا اين كه به ميدان رسيد. در آن جا پيش يكي از دو نگهبان رفت و سؤالاتي از وي كرد، كه از پاسخ نگهبان، به طور يقين به دري كه منجر به راه امن مي شد، پي برد و به سلامت از آن گذشت.
راستي سندباد از نگهبان چه پرسيد؟
اگر به ناتواني خود در پاسخ دادن اقرار كرديد، در بخش راه حل هاي آخر كتاب جست و جوي پاسخ مسئله را بيابيد.

م2: گفته ي شگفت

اگر كسي بگويد: من دروغگو هستم و راست نمي گويم، آيا او را راستگو مي دانيد يا دروغگو؟
پاسخ: اگر در اين سخن راست گفته باشد، او به اعتراف و اقرار خود دروغگو است، و اگر در اين سخن دروغ گفته باشد، او عملاً دروغگو است، بنابراين وي در هر دو صورت دروغگو مي باشد.
آيا چنين حكمي بر كسي كه مي گويد: من راستگو هستم و دروغ نمي گويم، صدق مي كند؟

س1: كارمندان نزد مدير مجموعه رفته و از كار زياد و حقوق كم شكايت كردند. آنان بعد از ديدار مدير، با چهره هاي عبوس و گرفته خارج شدند و مدير مجموعه تا آستانه ي در آنان را بدرقه كرد و گفت: در هر حال، توصيه خواهم كرد كه به شما پاداش سخاوتمندانه اي بدهند.

يكي از كارمندان آهسته گفت: اين مرد به آنچه مي گويد عمل نمي كند.
و ديگري گفت: و نمي گويد آنچه را كه انجام مي دهد.
راستي كدام يك از اين دو كارمند بيش از ديگري ترسيده بود؟
پاسخ: اولي نظرش بر اين قرار گرفت كه مدير، پاداش سخاوتمندانه اي كه وعده داد، توصيه نخواهد كرد. دومي نيز اين مطلب را تأييد كرد و افزود مدير دست به كاري خواهد زد كه آن را فاش نمي كند.

م3: شكارچي كجاست؟

يك شكارچي از منزلش خارج شد و 10 كيلومتر به سوي جنوب رفت و سپس مسير خود را تغيير داد و 10 كيلومتر ديگر به سوي شرق راه رفت، آن گاه تصميم گرفت به خانه باز گردد. او پس از 10 كيلومتر پياده روي به سوي شمال، خود را در منزلش ديد، اين شكارچي در كجا زندگي مي كند؟
* اين شكارچي خانه اي به شكل مكعب دارد، و در هر ديواري از ديوارهاي چهارگانه اش پنجره اي قرار دارد، آيا باور مي كنيد كه تمام پنجره هايش رو به جنوب هستند؟

م4: معماي مورچه

مورچه اي از ديوار صاف به ارتفاع 20 پا بالا مي رود. اين مورچه در هر دقيقه 3 پا بالا مي رود و 2 پا ليز مي خورد و پايين مي آيد. اين مورچه چه وقت به بالاي ديوار مي رسد؟
پاسخ: پس از 20 دقيقه نيست... چرا؟
نقشه ي مسير مورچه و حركتش را بكشيد.

5: معماي ساعت

دقيقاً رأس ساعت 6، ساعت ديواري خانه ام 6 ضربه در 5 ثانيه زد. اين ساعت در چند ثانيه 12 ضربه مي زند؟ پاسخ 10 ثانيه نيست. چرا؟

م6: معماي خرگوش ها

يك جفت خرگوش، نر و ماده، تازه به دنيا آمده را برگزيديم. اگر فرض كنيم كه خرگوش ها در هر ماه يك جفت، نر و ماده، به دنيا مي آورند، و اين كه خرگوش هاي ماده از آغاز ماه سوم عمرشان شروع به توليد مثل مي كنند، و اين كه پيش از به اتمام رساندن يك سال كامل از عمرشان نمي ميرند، در چنين حالتي تعداد خرگوش هاي ما در پايان سال چقدر است؟
راه حل:
پر واضح است كه ما در ماه اول، تنها يك جفت خواهيم داشت 1
و همين طور در ماه دوم نيز، تنها يك جفت خواهيم داشت 1
در آغاز ماه سوم، نخستين جفت متولد مي شوند، در اين صورت خواهيم داشت 2
در ماه چهارم، جفت ديگري متولد مي شود، در اين صورت خواهيم داشت 3
در ماه پنجم، تعداد جفت ها، مي رسد به 5 چرا؟
بنابراين ماهانه تعداد خرگوش ها بر طبق تصاعد زير افزايش مي يابند:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55
توجه كنيد كه مجموع هر دو جمله كه مجاور يكديگرند، مساوي با جمله ي بعدي آن ها است. شكل فوق چگونگي افزايش ماهانه ي خرگوش ها را نشان مي دهد. هر نقطه نشانگر يك جفت خرگوش است.

م7: از خانم همسايه ام پرسيدم. چند بچه (دختر و پسر) داريد؟

گفت: پنج بچه دارم.
گفتم: خدا حفظشان كند، اگر خداوند به تعداد پسران و دو برابر دختران به شما بچه مي داد، تعداد بچه هايت روي هم رفته چند تا مي شدند؟
خانم همسايه با انگشتانش شمرد و گفت: 13 بچه مي شدند.
گفتم: پس تعداد فرزندان شما 3 دختر و 2 پسر هستند.
خانم گفت: بلي، چگونه دانستيد؟

م8: انگشترم را در يك دست و انگشتر خود را در دست ديگر بگذار. با انگشتر من 4 ريال، و با انگشتر خودتان 3 ريال بگذار، و آن گاه به پولي كه در دست داري، پنج برابر آن و به پولي كه در دست چپ داري، چهار برابر آن اضافه كن.

حالا نصف پول هايي را كه در دو دستت قرار دارد صدقه بده، اگر پس از صدقه دادن كسري باقي ماند، پس انگشتر من در دست راست توست، و اگر كسري باقي نماند، پس انگشتر من در دست چپ توست. چرا؟
ولي، لطفاً پيش از هر پاسخي انگشترم را به من بازگردان، آفرين.

م9: معماهاي ذهني

استاد گفت: عددي كمتر از 130 در ذهن خود انتخاب كن.
جوان گفت: انتخاب كردم.
استاد گفت: همه ي دسته هاي ده تايي آن را به دريا انداز.
جوان گفت: انداختم، و تنها عدد 5 ماند.
استاد گفت: عدد مد نظر خود را به صورت دسته هاي 13 تايي در بياور.
جوان گفت: درآوردم، فقط عدد 8 باقي ماند.
استاد گفت: بنابراين، عددي كه در ذهن خود انتخاب كرده بودي، 125 است.
جوان گفت: راست گفتيد، قربان.
راستي استاد چگونه به عدد ذهني جوان پي برد؟ اگر پاسخ را نيافتيد، به بخش راه حل ها مراجعه كنيد.

م10: معماي باقيمانده ها

زكات اموالم را برداشتم تا به طور مساوي ميان فقرا تقسيم كنم. وقتي آن را شمردم، ديدم كه اگر بخواهم آن را ميان 3 فقير تقسيم كنم، 1 دينار مي ماند؛ و اگر ميان 5 نفر تقسيم كنم، 4 دينار مي ماند؛ و اگر ميان 7 نفر تقسيم كنم 3 دينار مي ماند. در اين جا من يك دينار به اموال زكات اضافه كردم و آن را ميان 19 فقير به طور مساوي تقسيم كردم. زكات اموالم چقدر بود؟

م11: معماي دينارهاي تقلبي

در شهر قاهره در عهد معزالدين الله 12 ضرابخانه براي ضرب سكه وجود داشت كه براساس مشخصاتي كه دولت اعلام كرده بود، به ضرب درهم هاي نقره و دينارهاي طلا مشغول بودند.
روزي دينارهاي تقلبي در بازار ديده شد كه وزن هر كدام از آن ها يك دانه ي جو بيشتر از وزن متعارف و رسمي بود. حالا از شما خواسته مي شود كه تنها با يك بار وزن كردن، ضرابخانه اي را كه دينارهاي تقلبي ضرب مي كند، بشناسيد.
چه كار مي كنيد؟
نصيحت مجاني: به راه حل مسئله در پايان كتاب نگاه نكن، مگر اين كه حداقل دو روز درباره ي آن انديشيده باشي.

م12: معماي انگشتر تقلبي

نزد شما 12 انگشتر طلايي، كاملاً شبيه به هم، مي آوردند، ولي به شما مي گويند كه يكي از آن ها تقلبي است و از نظر وزني با ديگر انگشترها تفاوت دارد. اينك از شما خواسته مي شود كه انگشتر تقلبي را مشخص كنيد، به شرط آنكه بيش از سه بار وزن نكنيد، و بگوييد كه آيا از ديگر انگشترها سنگين تر است يا سبك تر؟
يك خواهش: لطفاً با دوستان و همسايگان در مورد اين معما فكر كنيد، اگر از حل مسئله عاجز مانديد، آن گاه به بخش راه حل ها نگاه كنيد.

راه حل ها:

م1: انتخاب دشوار

سندباد از وي رسيد: اگر از همكار شما بپرسم: كدام يك از اين دو در، به راه نجات منجر مي شود، چه پاسخي مي دهد؟ نگهبان به يكي از آن دو دَر اشاره كرد. سندباد با شتاب و عجله حركت كرد و از دَر ديگر خارج شد و راه خود را به سلامتي ادامه داد.
چگونه؟ اگر نگهباني كه از وي سؤال شد، همان نگهبان دروغگو باشد، او مي داند كه همكارش راستگو است، كه اگر از وي پرسيده شود، وي به در نجات اشاره مي كند، ولي خودش چون دروغگوست، ناگزير بايد دروغ بگويد و به در ديگري اشاره كند، كه سندباد برخلاف گفته ي وي عمل كرد و از دري كه خلاف گفته ي وي بود، خارج شد.
حال اگر نگهباني كه از وي سؤال شد، همان نگهبان راستگو باشد، او مي داند كه همكارش دروغگو است، و اگر از وي پرسيده شود، به دَر هلاك و نابودي اشاره خواهد كرد، لذا نگهبان راستگو به دَر هلاك اشاره كرد، و از اين رو سندباد از دَر ديگر خارج شد.
در هر دو حالت دَر نجات، دري نيست كه نگهبان بدان اشاره مي كند.

م9: معماي عدد ذهني

پس از دورانداختن (كم كردن) دسته هاي ده تايي از عدد مذكور، تنها عدد 5 ماند. پس عدد مورد نظر جزء مجموعه اي اعداد (15، 25، ...، 125) است. و هنگامي كه عدد مورد نظر به صورت دسته هاي 13 تايي قرار گرفت، عدد 8 از آن ماند. بنابراين، عدد مذكور از نوع (13x+8) مي باشد.
براي اين كه رقم مرتبه ي يكانش 5 باشد، بايد رتبه ي يكان عدد 13x نيز 7 باشد. بدين ترتيب x=9، و عدد مورد نظر 125=8+9×13 مي باشد.

م10: معماي باقي مانده ها

پس از افزايش يك دينار، پول وي: [19، 38، 57، 76، 95، ...] شد. بنابراين پول وي پيش از اضافه كردن آن يك دينار [18، 37، 56، 75، 94، ...] بود. از اين مجموعه عدد 18 به خاطر بخش پذيري بر 3 و 56 به خاطر بخش پذيري بر 7 و 75 به خاطر بخش پذيري بر 5 حذف مي شوند. هر چند عدد 37 اگر بر 3 تقسيم شود 1 مي ماند، ولي چنانچه بر 5 بخش كنيم عدد 4 از آن نمي ماند و به همين خاطر اين عدد نيز حذف مي شود، و تنها عدد 94 مي ماند كه داراي تمام شرايط است.

م11: معماي دينارهاي تقلبي

نام ضرابخانه اي كه سكه مي زنند، نوشته مي شود و آن ها را از 1 تا 12 به ترتيب شماره گذاري مي كنيم. سپس از اولي، يك دينار و از دومي، دو دينار و از سومي، سه دينار و به همين ترتيب...، تا از دوازدهمين دوازده دينار مي گيريم و آن ها را يك جا وزن مي كنيم تا ببينيم چند دانه نسبت به وزن اصلي بيشتر است. اگر اضافه وزن تنها يك دانه بود، پس نخستين ضرابخانه دارد تقلب مي كند، و اگر ده دانه بيشتر بود، معلوم مي شود كه دهمين ضرابخانه دارد تقلب مي كند، و به همين ترتيب.

م12: معماي انگشتر تقلبي

چون تعداد وزن كردن ها محدود است، از اين رو دست به توزين مزن، مگر بسيار سودبخش باشد. مثلاً 6 انگشتر را با 6 انگشتر وزن مكن، چرا كه مي داني يكي از اين دو دسته سنگين تر است، همچنين 5 انگشتر را با 5 انگشتر، چون اگر مطمئن شويم كه دو دسته ي پنج تايي داراي انگشترهاي سالمي هستند، راه حل آسان مي شود، ولي انگشتر تلقبي در يكي از آن دو دسته بود، در اين صورت ما يك بار توزين در برابر مطلب كم ارزشي را، دال بر اين كه دو انگشتر باقي مانده سالم هستند، از دست مي دهيم.
حالا اجازه دهيد انگشترها را در سه دسته ي الف، ب، ج قرار دهيم كه هر دسته داراي چهار انگشتر است.
نخستين توزين: دسته ي الف را با دسته ي ب وزن مي كنيم. در اين جا دو حالت پيش مي آيد:
1- الف=ب است. در اين حالت دو دسته سالم هستند و اختلاف دو دسته ي ج خواهد بود.
2- الف با ب برابر نيست. در اين صورت انگشترهاي دسته ي ج سالم هستند.

حالت(1): الف= ب (هر كدام ا زاين انگشترها را چون سالم هستند، با حرف س مشخص مي كنيم).

دومين توزين: سه انگشتر ج يعني از دسته ي ج را با 3 انگشتر س يعني 3 انگشتر سالم وزن مي كنيم. در اين جا سه حالت پيش مي آيد:
(1): 3 ج = 3 س پس اين ها سالم هستند، وانگشتر تقلبي همان انگشتر چهارم ج است.
(2): 3 ج سنگين تر از 3 س باشد. پس انگشتر تقلبي در 3ج و نسبت به بقيه سنگين تر است.
(3) 3ج سبك تر از 3 س باشد. پس انگشتر تقلبي جزء 3 ج و نسبت به بقيه سبك تر است.
سومين توزين: در حالت نخست: چهارمين انگشتر ج را با يك انگشتر سالم وزن مي كنيم، تا بدانيم انگشتر تقلبي سبكتر يا سنگين تر است.
در حالت دوم: دو انگشتر از سه انگشتر 3 ج را وزن مي كنيم. انگشتر سنگين تر همان تقلبي است، و اگر هم وزن بودند، سومين انگشتر همان انگشتر تقلبي است.
در حالت سوم: دو انگشتر از سه انگشتر 3 ج وزن مي كنيم. انگشتر سبك تر همان انگشتر تقلبي است، و اگر مساوي شدند، سومين انگشتر همان انگشتر تقلبي است.

حال(2): الف با ب مساوي نباشد، بلكه يكي سنگين و ديگري سبك باشد. انگشترهاي مجموعه ي سبك تر را با نام هاي ك1، ك2، ك3، ك4، و انگشترهاي مجموعه ي سنگين تر را با نام هاي ن 1، ن2، ن3، ن 4مشخص مي كنيم.

دومين توزين: 3س+ ن1 را با ن2+ ن3+ ن4+ك1 وزن مي كنيم كه در اين جا سه حالت پيش مي آيد:
(1): 3س+ن1=ن2+ن3+ن4+ك1 باشد. پس انگشتر تقلبي در ك 2+ك3+ك4 و سبك است.
(2): 3س+ن1 سبك تر از ن2+ن3+ن4+ك1 باشد. پس انگشتر تقلبي در ن2+ن3+ن4 و سنگين تر است.
(3): 3س+ن 1 سنگين تر از ن 2+ن3+ن4+ك باشد. پس انگشتر تقلبي ن 1 يا ك 1 خواهد بود.
سومين توزين:
در حالت 1: ك 2 را با ك3وزن مي كنيم، اگر مساوي بودند، انگشتر تقلبي ك 4 و سبك است. و اگر هم وزن نبودند، وزن سبك تر همان انگشتر تقلبي است.
در حالت 2: ن 2 با ن3 وزن مي كنيم، اگر مساوي بودند، انگشتر تقلبي ن 4 و سنگين تر است، و اگر هم وزن نبودند، سنگين تر همان انگشتر تقلبي است.
در حالت 3: ن 1 را با يك انگشتر سالم وزن مي كنيم، اگر مساوي بودند، انگشتر تقلبي ك 1 و سبك تر است. و اگر نه، انگشتر تقلبي ن 1 و سنگين تر است.
منبع مقاله :
سعيدان، احمد سليم؛ (1383)، لذت انديشه ي رياضي: پرسش ها، معماها و بازي هاي رياضي براي کودکان و بزرگسالان، ترجمه ستار عودي، تهران: شرکت انتشارات علمي و فرهنگي، چاپ دوم